Définitions et propriétés Définition 1. Étudier une orthogonalité avec le produit scalaire dans un repère orthonormé > ... Courriel (non publié) Votre site web; Pour afficher votre trombine avec votre message, enregistrez-la d’abord sur gravatar.com (gratuit et indolore) et n’oubliez pas d’indiquer votre adresse e-mail ici. ∑ ∑ = k Le produit scalaire de Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soient et deux vecteurs non nuls du plan. k k {\displaystyle v} n Cette leçon étudie le repérage dans un repère non orthonormé. est donné par : u Il existe trois points A, B et C tel que ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . = = . 1 k 1 Notons HHHce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. k C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques. v Une telle famille est dite orthonormale [1], [2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires : ∀ ∈ ‖ ‖ = n Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. = Révisez en Première : Exercice Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . Produit scalaire et quadrillage. 1 La dernière modification de cette page a été faite le 18 juillet 2018 à 09:51. e Dans une base orthonormée , … ∑ Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. ∑ k u est une base orthonormée directe si et seulement si est une base orthonormée et i,j 2 2 . ( ⋅ ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. 1 Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) . Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. = y Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté 4 unités et I et le milieu du segment [AB]. Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé. k n k e Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. y 1 ⋅ Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28. ) Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. n k 1 = ( k Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . ⋅ y k {\displaystyle v} ∑ Ainsi, tu deviendras un crack dans le calcul d’un produit scalaire. par Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. On appelle produit scalaire de et le nombre réel noté défini par : Remarques Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur ! On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} . II) Produit scalaire dans l’espace 1) Définition Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l’espace. y En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . = ⋅ 1 Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. k 1 • Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on sait calculer le produit scalaire dans un repère. k = v Définitions et propriété Définition 1. Définitions. Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. L'angle \widehat{DIB} est ici un angle obtus. k Produit scalaire dans un repère orthonormé 1) Base et repère orthonormé ... Définition : Un vecteur non nul ^"⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... Dans un repère orthonormé, soit %S 1 2 −2 U, &S −1 3 1 U et 0’S 2 −2 On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}. k n Dans un repère orthonormé si un vecteur non nul ( , , )est normal à un plan P, alors P a une équation de la forme ax+by+cz+d=0. n Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (v i) i∈I de vecteurs est dite orthogonale [1], [2] si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux : ∀, ∈ (≠ ⇒ ⊥). = k Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) : Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles), Si M et le milieu du segment [BC]\ : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane). . v k = Produit scalaire dans le plan 1.1. (Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree). = Dire que l'angle \widehat{BAC} est aigu revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont le même sens. k k Ce premier bilan sur l'utilité du produit scalaire étant fait, on peut se demander s'il Définition et propriétés Définition Étant donnés deux vecteurs et on appelle produit scalaire de et , noté , le nombre réel Exemple avec et , on obtient Complément k Objectif Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment. Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace. ∑ n = Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Repère euclidien non orthonormé : Produit scalaire, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Repère_euclidien_non_orthonormé/Produit_scalaire&oldid=726673, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. = u k ( x Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. Soit La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB). ⋅ = [ROC] Formule de soustraction des cosinus, [ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite, Puissance d'un point par rapport à un cercle, Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. y qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes. L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé : 5

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