$$b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$$ Si une fonction f T-périodique de R dans C est C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge en tout point vers sa régularisée : où ai tel que $i∈\{1,\cdots,n\}$sont les coefficients de Fn(x). Nous allons nous intéresser dans ce chapitre aux séries de Fourier. Derivadas Aplicaciones de la derivada Limites Integrales Aplicaciones de la integral Series EDO Transformada de Laplace Serie de Taylor/Maclaurin Serie de Fourier. Peut-être un manque de connaissances mathématiques, mais je ne vois pas comment calculer les coefficients de Fourier de la fft. Comment Calculer la série de Fourier en Python Le calcul de la série de Fourier dans votre programme Python vous permet de briser un signal dans ses fréquences. Que peut on dire des coefficient de Fourier d’une fonction impaire? Vous avez juste à renseigner la fonction voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. Exercice 2 Calculer la série de ourier,F sous forme trigonométrique, de la fonction 2ˇ-périodique f: R! De plus, bn = 0 pour tout n, et pour les an on fait le même changement que précédemment, d’où : On a maintenant la somme que l’on souhaite calculer : il ne reste plus qu’à calculer l’intégrale et isoler la somme : On vient de trouver la deuxième somme ! L’objectif est de décomposer toute fonction périodique sous forme d’une combinaison linéaire de cos(nωT) et sin(nωT), ou d’une combinaison linéaire de exp(niωT). On sait que: n n * Or est une fonction paire donc Le calcul de me donne . Ecuaciones de la recta Funciones Aritmética y composición Secciones cónicas. On aurait ainsi décomposé f en une somme de cosinus et de sinus (ou d’exponentielles). Une fois que l’on a calculé la série de Fourier, la question est de savoir si f est égale à la série de Fourier ou pas. Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier : 2.10. En déduire la valeur des sommes suivantes : Solution : Donc on a, de cette manière, trouvé les coefficients de Fourier en fonction de la fonction F de t. C'est tout simplement la valeur moyenne de F de t multipliée par l'exponentielle ioméga nt pour le coefficient Cn ou donc 1 sur T fois l'intégrale, sur une période de F de t fois cette exponentielle complexe. On pourrait donc écrire une formule plus générale pour tout réel k : De même évidemment pour les coefficients an et bn. Corrigés Exercices Séries de Fourier, Séries de Fourier, Mathématiques TSI 2, AlloSchool R telle que f(x) = ˇ j xj sur ] ˇ;ˇ].La série converge-t-elle vers f? En effet, l’égalité est vraie pour tout t, en particulier pour t = 0 : cette technique de remplacer t par un réel particulier sera souvent employée pour calculer des sommes. Avant de passer aux exercices, voyons un exemple concret d’application de tout ce que l’on a vu jusqu’à présent. Je suis conscient que mettre N=5 et bien trop peu, il faut considérer plus de termes dans la série de Fourier mais j'ai mis 5 pour voir graphiquement mais en pratique j'ai déjà essayer avec N = 300 et le résultat n'est pas tellement mieux alors que N=300 est théoriquement largement trop. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo, Calcul mental et règles de divisibilité. – calcul des coefficients de Fourier En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques.C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique. Ils apparaissent dans les problèmes géométriques utilisant des angles et ont surtout été développés pour l’astronomie, une science très importante dans l’Antiquité. Interprétation physique du développement en série de Fourier : 2.13. La décomposition de Fourier que nous allons voir s’appuie sur une famille de fonctions sinus. En particulier, il chauffait un endroit de la p´eriph´erie d’un anneau en fer et observait ensuite l’´evolution de la temp´erature sur la totalit´e de l’anneau au cours du temps. Le second a présenté en 1854, à l’oc- casion de sa thèse d’habilitation à l’Université de Göttingen, un travail intitulé Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique qui consti- Comme tu le vois, le calcul s’est fait en 2 étapes : appliquer le théorème de Dirichlet, puis remplacer la variable par un réel particulier, sachant que l’on prend souvent des valeurs simples comme 0, 1, -1 ou π notamment. finie en tout point ai. J'ai essayé d'utiliser fft le module numpy, mais il semble plus dédié à des transformées de Fourier de la série. Matrices y vectores. Ce qui change c’est la définition de la fonction, qui entraîne des calculs différents, et permet donc de calculer des sommes différentes, mais la méthode reste souvent la même, à savoir : Tout les polynomes de Fourier sont $2\pi-$ périodiques. f étant paire, tous les coefficients bn seront nuls d’après ce que l’on a vu dans le cours, et les coefficients an sont définis par : Or f étant paire, on avait vu que l’on peut calculer les coefficients sur une demie-période en multipliant par 2 car la fonction intégrée est paire : a0 se calcule facilement, an se calcule avec une intégration par parties que nous ne détaillerons pas car ce n’est pas l’objectif ici. Remarque importante : si f est continue en x, f(x–) = f(x+) et donc (f(x+) + f(x–))/2 = f(x). f étant continue par morceaux, on peut appliquer la formule de Parseval : |f|2 est paire, on peut donc, comme pour le calcul des coefficients, n’intégrer que sur une demie-période et multiplier par 2. Commençons par la première : Pour la calculer, nous allons appliquer le théorème de Dirichlet. Parfois, on parle aussi des polynomes de Fourier ou polynomes trigonométriques qui s'écrivent sous la forme: T. En conclusion, la série de Fourier représente correctement f(t) dans l'intervalle [t 0,t0+T], en dehors de cet intervalle, la série de Fourier reproduit à gauche et à droite de l'intervalle la fonction f(t) définie entre t 0 et t0+T. De la même manière, si f est impaire, les coefficients an sont nuls : De plus, si f est paire, dans l’intégrale servant à calculer an, on a f(t)cos(nωt) qui est paire puisque f et cos le sont. Introduction Matrices Vectores. C'est par ici, $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$, $$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$, $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$. Nous dirons qu’une telle fonction est continue par morceaux. I used the for formula Ao = 1/2L integral of f(x) between the upper and lower limits. $$ f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right)$$ La formule de Parseval est une égalité qui va nous permettre de calculer certaines sommes comme nous le verrons dans les exercices. Pour simuler cette décomposition: $x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$, Voulez vous nous contacter ? By using this website, you agree to our Cookie Policy. 2.9. ce qui est équivalent à $$ F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big)$$ SÉRIES DE FOURIER 7 3. cos(ω(x + T)) = cos(ωx + 2π) Ce sont des séries, comme son nom l’indique, qui permettent de simplifier la résolution de problèmes physiques, notamment des équations différentielles. On appelle régularisée de Dirichlet de f en x la quantité : Avec ça, on va maintenant pouvoir donner le théorème de Dirichlet : — ATTENTION !! L’idée est de décomposer n’importe quelle fonction périodique en une somme de cosinus et de sinus, ou en une somme d’exponentielles complexes : cela est lié à la décomposition d’un son en une fréquence fondamentale et des harmoniques comme tu as dû le voir au lycée par exemple. Integration et dérivation des séries de Fourier complexes: 2.12. Les conditions sont les mêmes que pour le calcul des coefficients de Fourier, à savoir que f doit être périodique et continue par morceaux. Spectre d'amplitude obtenu en utilisant le développement complexe de la série de Fourier : 2.10. Re : Période et série de Fourier merci, le problème c'est que je suis sur excel en espagnol et que je retrouve pas la fonction equivalente.J'ai bien une foncyion complejo, mais si g bien compris elle convertit des coefficients réels et imaginaires en un nombre complexe et moi je veux l'inverse Par périodicité, on peut bien sûr intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur T, et pas forcément sur [0 ; T], par exemple sur [-T/2 ; T/2]. Pour une telle fonction, aux points de discontinuité, la fonction a une limite à gauche notée f(x–), et une limite à droite notée f(x+). Asif Khan: 2020-11-14 20:33:22 Hello, I did a fourier series for a function f(x) defined as f(x) = -x -pi x 0, f(x) = 0 0 x pi when i plugged in the results in the calculator I got the same answers for An and Bn when n > 0. On rappelle qu’une fonction périodique de période T est définie par : On définit alors la pulsation ω comme en physique par : cos(ωT), sin(ωT) et exp(iωT) sont alors périodiques de période T. Une fois que l’on a calculé la série de Fourier, la question est de savoir si f est égale à la série de Fourier ou pas. TRANSFORMÉE DE FOURIER . Attention, tu auras peut-être remarqué que dans la somme avec les cn, il n’y a pas de moins dans l’exponentielle, contrairement à l’exponentielle dans l’intégrale permettant le calcul de cn. Pour pouvoir calculer les coefficients de Fourier d’une fonction de R dans C, celle-ci doit être périodique de période T, et continue par morceaux. Nous ferons ce genre d’exercices dans les vidéos disponibles sur le lien ci-dessous, n’hésite pas à t’entraîner ! Cherchons maintenant la deuxième somme : On voit qu’il s’agit de la même somme que précédemment mais au carré : dans ce genre de cas, on doit immédiatement penser à la formule Parseval !! $$ F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)$$ cos(ω(x + T)) = cos(ωx + ωT) Contrairement à la somme précédente, pas besoin de remplacer la variable par une valeur particulière, puisqu’il n’y a pas de variable ! Calcul des coefficients de Fourier dans le cas d'un signal impair Remarque : ici la variable est t mais ça peut être x par exemple. La démonstration est similaire pour sin(ωT) et exp(i ωT). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Formule de Parseval $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}$$ Il y a cependant des conditions pour pouvoir calculer la série de Fourier d’une fonction : — En effet, f est C1 par morceaux (on ne va pas le montrer mais on va ici l’admettre car ce n’est pas l’objectif de l’exercice), donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet, selon lequel f est égale à sa série de Fourier, donc pour tout réel t : On voit que la somme ressemble à celle que l’on veut calculer, sauf qu’il y a cos((2k + 1)x) dont on aimerait se débarrasser. Cet exercice est extrêmement classique, à savoir que l’on a une fonction périodique, on demande de calculer la série de Fourier puis d’en déduire des sommes. Evidemment, cette fonction est impaire.Ce qui veut dire que tout les an sont nuls. D’où, pour n ≥ 1 : Attention, tous les coefficients d’indice pair sont nuls sauf a0 !! Les sinus font partie des fonctions trigonométriques et ont donc une longue histoire. série de Fourier portant aujourd’hui son nom. En effet, la formule de Parseval fait intervenir les coefficients au carré, il sera donc très fréquent, quand on veut calculer une somme ressemblant au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet, d’appliquer la formule de Parseval. —. Tu trouveras sur cette page ainsi que sur cette page tous les exercices sur les séries de Fourier ! ), donc on remplace n par 2k + 1 avec k ≥ 0 : Il n’y a plus qu’à remplacer a0 et a2k + 1 avec l’expression trouvée précédemment : On vient de déterminer la série de Fourier de f ! On retrouvera alors finalement : On peut alors remplacer S(f)(x) par une des deux expressions vues précédemment (celle avec les cn, ou celle avec les an et les bn). Les s eries de Fourier Daniel Perrin ... Il est aussi fait allusion a l’utilisation du d eveloppement en s erie de Fourier ... nsinn!t) le calcul est encore facile en traitant s epar ement le cas de chaque terme (on parle d’harmoniques) et en les ajou-tant (principe de superposition). Là où la fonction est continue, on a évidemment f(x–) = f(x+) Si la fonction F(x) est à valeurs dans R,ilestnaturel de vouloir la développer en série sous forme réelle et non sous la forme complexe de la série de Fourier (cf prochaine section). A. Rappel sur le développement en série de Fourier Soit f une fonction ( ou signal) périodique de période T . Les coefficients de Fourier étant déterminés, on peut maintenant donner la série de Fourier : Or bn = 0 pour tout n, et T = 2π donc ω = 2π/T = 1, d’où : De plus, an = 0 pour n pair (sauf a0 !! Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe: 2.11. Théorème de Dirichlet t 0 t 0 +T f(t) série de Fourier t 0 +2T t J'ai une fonction périodique de période T et voudrais savoir comment obtenir la liste des coefficients de Fourier. C’est par exemple le cas si la s´erie num´erique form´ee avec ... le segment (−π,π), sa s´erie de Fourier converge en tous les points. Les exercices vidéo en fin de chapitre te permettront de voir des applications concrètes des théorèmes présents dans le cours. R telle que f(x) = x2 sur [0;2ˇ[. On a donc : Or f(0) = 0 d’après l’expression de f (on peut le voir aussi sur le tracé de f) : On a maintenant la somme que l’on souhaite, il n’y a plus qu’à l’isoler ; On vient de trouver l’expression recherchée. Les coefficients complexes, notés cn, sont alors définis par : Les coefficients réels an et bn sont quant à eux définis par : Remarques : a0 correspond à la valeur moyenne de f. Exemple : Pour cette fonction, f(2–) = 9 et f(2+) = 4 Filtrage des signaux IV. Expression des coefficients forme réelle. n de la série de Fourier sont nuls. Exemple d’application L’intégrale de 0 à T vaut donc le double de celle de 0 à T/2 : De même pour bn, si f est impaire, f(t)sin(nωt) est paire car f et sin sont impaires, donc : On se servira souvent de ces expressions dans les exercices. Il vient en effet de terminer l'étude de la diffusion, graduée en difficulté, dans les divers solides de formes remarquables. • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu – De l’analogique au numérique – Analyse de Fourier de signaux numériques III. —. Introduction. Suivant les exercices, on utilisera plutôt l’une ou l’autre des formules. En effet : Remarque: Nous avions déjà fait mention de ce type de série lors de notre étude des types de polynômes existants puisque les séries de Fourier ne sont au fait que des polynômes trigonométriques. LA TRANSFORMATION DE FOURIER I. Déterminer la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie sur [−π,π] par f(x)=|x|. Nous verrons que les séries de Fourier s’appliquent aux fonctions périodiques, ce pourquoi ce sont surtout les phénomènes physiques périodiques qui sont visés (électricité, ondes etc…). On pourrait également démontrer que cos(nωT), sin(nωT) et exp(niωT) sont également périodiques de période T pour tout entier n. Rappelons que l’une des conditions pour calculer la série de Fourier de … On aurait ainsi décomposé f en une somme de cosinus et de sinus (ou d’exponentielles). La Transformée de Fourier, est-ce que ça peut se faire discrètement? Outil pratique qui permet de faire des calculs sur des fonctions bizarroïdes, mais répétitives. – application de la formule de Parseval. Expression des coefficients des séries de Fourier 3.1. On a alors : Là encore on a deux égalités, une avec les coefficients cn, l’autre avec les an et les bn). $$x,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi] $$ —. On peut généraliser cette affirmation:silafonctionf,surl’intervalle[0;L],estsymétriqueparrap-portàsonmilieu,c’estàdiretellequef(L x) = f(x),alorssescoefficient deFourierb nsontnuls(àdémontrerbiensûr). Il s’agit maintenant de calculer les 2 sommes données dans l’énoncé. — Ce qui nous donne : Free Fourier Series calculator - Find the Fourier series of functions step-by-step. Exercices corrigés sur les séries de Fourier 1 Enoncés Exercice 1 Calculer la série de ourierF trigonométrique de la fonction 2ˇ-périodique f: R! Fourier Series Calculator es un calculador on line de la serie de fourier, simplemente introduce tu funcion si es definida a trozos, introduce cada uno de los trozos y calcula los coeficientes de fourier, tambien puedes representarla con hasta 20 coeficientes. Calcula la derivada numerica y analitica de … On peut voir assez facilement que f est paire et continue. Attention, la condition C1 par morceaux est primordiale !! Calcul des coefficients de Fourier This website uses cookies to ensure you get the best experience. However, for Ao i got half of the answer. Vous avez juste à renseigner la fonction cos(ω(x + T)) = cos(ωx) car cos est 2π périodique n sont les coefficients de Fourier de f(x). Joseph FOURIER, mathématicien français, a¢rma, dans un mémoire daté de 1807, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 . Remarque sur la parité de la fonction et ses conséquences en remarquant dès le début que est impaire, les calculs peuvent s'effectuer plus rapidement et simplement en employant les formules adaptées des coefficients et (alors directement égaux à 0 , sans calculs), et de . En g en … En mathématiques,on appelle série de Fourier tout expression qui s'écrit sous la forme: Expression de la série de Fourier En utilisant la définition de la valeur efficace d'une grandeur périodique, j'avais trouvé comme valeur efficace pour u2(t), Rac(6). Je trouve ces résultats un peu étrange, pouvez-vous me les confirmer s'il vous plaît. domaines scientifiques tels que l'optique et vague mouvement utilisent processus transformée de Fourier … Ces deux équations se montrent en décomposant l’exponentielle en cos + isin dans l’intégrale. En Un élément de Esera défini par sa valeur sur un intervalle de longueur 2π(sauf éventuelement en un nombre fini de points). Bien sûr le graphique n’est pas une démonstration, et il faut montrer proprement cette parité et cette continuité, mais à l’oral par exemple le graphique suffit souvent à l’examinateur pour montrer que tu as compris. La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est une approximation de la "vraie" transformée en vue du calcul numérique effectif; elle consiste en deux étapes qui faussent un peu (mais pas trop, du moins l'espère-t-on) sa valeur. Pour cela rien de plus simple, il suffit de remplacer t par 0 ! Integration et dérivation des séries de Fourier complexes: 2.12. Il nous reste donc à chercher les coéfficients bn. La somme de la seront affichés ci-dessous. (cf. Exercices. Ce calculateur est une Sandbox en ligne pour jouer avec la Transformation de Fourier discrète (TFD) Il utilise la véritable TFD qui est la version de la Transformation de Fourier discrète utilisant des nombres réels pour représenter les signaux d'entrée et de sortie. – application du théorème de Dirichlet et remplacement de la variable par une valeur particulière Supposons qu'on veut trouver la décomposition en séries de Fourier de Certains professeurs préfèrent une autre expression pour a0, qui est : La formule de Parseval change alors et devient : Ces égalités faisant intervenir le carré de f et le carré des coefficients, on l’utilisera souvent quand on veut démontrer une formule où l’on souhaite le carré de l’expression des coefficients, ou quand on a une somme qui ressemble au carré de ce que l’on obtient avec Dirichlet (c’est ce que l’on va voir juste en-dessous dans l’exemple d’application). Cela veut dire que les mécanismes de calcul sont gérés par des fonctions python et un peu de javascript pour les tracés de courbes. $$x^3,\quad ordre\quad 4\quad sur\quad[-\pi,\pi]$$. si non je serai obligé de … Deux cas particuliers que l’on rencontrera souvent : les fonctions paires et impaires. Attention, b0 n’existe pas ! ). Découvrez la Série de Fourier avec ce tutoriel pour la calculatrice TI-Nspire™ CX CAS. CALCULS DE COEFFICIENTS DE FOURIER La série de Fourier d’un élément fde Esera notée [f]. On peut donc exprimer la série de Fourier de deux manières différentes, soit avec les coefficients cn, soit avec les coefficients an et bn : tout dépendra de l’exercice. Interprétation physique du développement en série de Fourier : 2.13. Il existe plusieurs relations entre les coefficients an, bn et cn que tu peux démontrer pour t’entraîner : Ainsi, cn et c-n sont conjugués. Exemples de calcul direct d'une série de Fourier complexe: 2.11. Cliquez sur l'ordre voulue pour l'afficher sur le graph, Cliquez sur la fonction pour calculer sa décomposition en séries de Fourier. J'ai commencé à étudier les séries de Fourier récemment. Rappelons que l’une des conditions pour calculer la série de Fourier de f est que celle-ci soit continue par morceaux. Celles-ci sont transformées en sommes de fonctions périodiques (sinus et cosinus) plus simples. Ce site vous aidera à faire du calcul en ligne à l'aide des outils mathématiques que j'ai développés en Python qui est un langage qui s'utilise très souvent dans les sciences. L… $$f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi$$ Le décomposition ainsi que sa représentation graphique jusqu'a l'ordre 4 Funciones. 2.9. A partir de ces deux équations, on en déduit facilement que : A partir de ces coefficients, on va pouvoir exprimer la série de Fourier de f. Une fois que l’on a calculé les coefficients de Fourier, on peut alors écrire la somme partielle de la série de Fourier notée SN(f(t)) et définie de la manière suivante : La série de Fourier est tout simplement la limite quand N tend vers +∞ de SN(f) : Attention, b0 n’existant pas, la somme des bn commence à 1, mais celle des an commence à 0…. Pour aboutir à leur forme actuelle, ils sont partis de la Grèce antique, allés jusqu’en Inde pour revenir par la Perse et l’Arabie et enfin en Europe à la Renaissance. Cet exercice très classique va faire intervenir le calcul des coefficients, le théorème de Dirichlet, la formule de Parseval, et même les propriétés sur les fonctions paires et impaires (en gros tout ce que l’on a vu ci-dessus ! Learn more Accept. f est ainsi continue, donc continue par morceaux, on peut donc calculer ses coefficients de Fourier. 8. $$ A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx))$$ Analyse de Fourier En , le physicien et math´ematicien franc¸ais JosephFourier( - ) ´etudiait les transferts ther-miques. On trouve alors : Or cos(nπ) = (-1)n, donc cos(nπ) – 1 = 0 si n est pair, et -2 si n est impair. Alors voici la question: Calculer les coefficients de Fourier de la fonction . Analyse et traitement de signaux aléatoires. Ainsi, si f est C1 tout court (et non par morceaux), la demie-somme est égale à f(x), ce qui simplifie la formule. La première étape est de tracer la fonction afin de voir à quoi elle ressemble : Nous avons tracé en vert la fonction sur [-π : π], le reste est déduit par périodicité. • Calcul de a 0 On suppose que la s´erie (2.1) (second membre de l’´equation (2.3)) peut ˆetre int´egr´ee terme a terme. L’énoncé est le suivant : SÉRIE DE FOURIER. voulue, l'intervalle de décomposition et l'ordre de la décomposition en séries de Fourier. On peut facilement démontrer que quand f est paire, les coefficients bn sont nuls. ok, merci mes amis, mais juste une dernière question, n'existe-t-il pas un tel logiciel, mais qui soit en graphique, c'est-à-dire, un programme qui me permet de gérer ce que je veux graphiquement, je n'ai pas le temps pour lire toute la documentation de celui que vous m'a recommandez. Ce calculateur vous permettra de calculer la décomposition d'une fonction en séries de Fourier en ligne jusqu'à l'ordre 4 .

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