Alors la série des dérivées ∑ (n + 1) a n+1 xn a le même rayon de convergence R . P1. On démontre et on admet que le domaine de convergence d'une série entière est un intervalle centré en 0. Si la série entière a pour rayon de convergence alors : Si est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série converge sur le disque ouvert de convergence (c'est-à-dire que si la série est réelle, il y a convergence sur l'intervalle ouvert ).. Propriétés du rayon de convergence dans . TH 14 : Continuité de la somme II. Pour calculer le rayon de convergence on fait souvent appel à la méthode suivante liée à la règle de d'Alembert. Continuité de la somme d’une série entière TH 13 : Convergence normale La série entière ∑ n an z converge normalement sur tout disque fermé de centre 0 et de rayon strictement inférieur à R. Plus généralement, elle converge normalement sur tout compact contenu dans le disque ouvert de convergence. I. Définitions. Rayon de convergence et domaine de convergence d'une série entière : L'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série numérique de terme général u n = a n x n est convergente est appelé domaine de convergence. Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). Lemme d’Abel: Si la suite (anrn) est bornée pour un réel r ¨ 0, alors pour tout complexe z 2C vérifiant jzj˙r, la série … Exercice 2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ an 1+bn zn selon les aleursv de a;b 2 R +. est dite série entière de la variable réelle si , et de la variable complexe si . Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière. Pour l'étude de la dérivabilité de la somme d'une série entière, le point essentiel est le suivant : Théorème Soit ∑ a nx n une série entière de rayon de convergence R > 0 . Mais il peut se faire que le rayon de convergence de la série somme ou de la série produit soient strictement supérieurs à min{R a,R b}. an = {2n si 9k 2 N: n = k3 0 sinon. Étant donné une suite de nombres complexes, on lui associe la série de fonctions où : est dite la série entière associée à dont elle est appelée la suite des coefficients. Le théorème 3 affirme que les combinaisons linéaires et le produit de deux séries entières convergent au moins si ces deux séries convergent. La série de fonctions est normalement convergente sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence . Convergence d'une série enti Exercice 3 Déterminer le rayon de convergence des séries entières ∑ anzn suivantes : an = {n si n est pair, 0 sinon. Comment utiliser les propriétés de la somme d’une série entière de terme général de rayon de convergence ? Une série entière de coefficients se note généralement : ou . Calcul du rayon de convergence d'une série entière. I -Convergence d’une série entière I.A -Rayon de convergence Définition(Série entière): Une série entière est une série de la forme X anz n où (an)n2N 2C N et z désigne une variable complexe. La série de fonctions est normalement convergente sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence . 2. P1B. On considère dans cette partie une série entière ∑ de rayon de convergence . Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel :. Nature de la convergence [modifier | modifier le wikicode] Les théorèmes suivants permettent de caractériser plus précisément la nature de la convergence des séries entières dans leur disque de convergence. 1 Convergence d’une série entière 1.1 Rayon de convergence Définition1 Soit(a n) unesuited’élémentsdeK.Onappellesérie entière delavariablez2K àcoefficientsa n la série X a nz n. SiK = R (resp.C),onditsérie entière réelle (resp.complexe). II. Par exemple, les deux séries P (1 + 2n)zn et P (1 −2n)zn

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