Pensez à lire la Charte avant de poster ! Normes vectorielles, matricielles. On montre comme dans l’exercice 10 que ce sont trois normes sur R[X]. (1.4) ||2: Rn−→ R d´efinie par ||x||2 = √ x,x = (∑n k=1 x2 k)1 2 (1.3) est une norme sur Rn. Exercice 24. L’in´egalit´e triangulaire est une cons´equence de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz x,y 2 ≤ x,x y,y = ||x||2||y||2. (cost,sint) est continue sur R. Magali Hillairet 4 Lycée Franklin, Orléans. Une s´emi-norme sur un espace vectoriel E est la donn´ee d’une application N : E → R v´erifiant deux axiomes (X,Y vecteurs de … On l’appelle la norme euclidienne (canonique) sur Rn. dist(mat, method = "maximum"): distance avec la norme L-infini (maxi de 2 composantes). PT FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES Géo 0 3. On peut alors poser la d e nition suivante : D e nition. R2 t 7! Produit scalaire et norme euclidienne Exercice 1 On consid ere le plan vectoriel R2 et on pose pour x= (x 1;x 2) et y= (y 1;y 2) : = 2x 1y 1 + x 1y 2 + x 2y 1 + 2x 2y 2: a)Montrer que <;>d e nit un produit scalaire sur R2. C’est bien sur^ la norme Euclidienne quand on identi e C et R2. 1. Analyse matricielle, Normes 2.1. 4) Si de plus Aest sym etrique r eelle, elle est diagonalisable dans une base orthonorm ee de Rn. 3) Si Aest hermitienne, ses valeurs propres sont r eelles, et elle est diagonalisable dans une base orthonorm ee. Exercice 2 La première vérifie : car est une norme sur R car norme sur R car norme sur R Salut b)Repr esenter la boule unit e, c’est a dire l’ensemble des x2Etels que jjxjj 1. Exercice 23. Salut Je cherche la démo détaillée de l'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne Merci ! 2. Correction del’exercice2 N 1.On a par définition B(0;1)=fx 2R;jx 0j=jxj<1g=[ 1;1]: 2.C’est la norme euclidienne sur R2, B 1(0;1) = f(x;y) 2R2; p x2 +y2 = 1gc’est le disque de centre l’origine et de rayon 1. Il ne peut pas plus changer de signe. Ces normes sont-elles equivalentes? Et réciproquement. f est une distance sur R b. Trouver une condition n ecessaire et su sante portant sur la fonction f pour que f soit induite par une norme. D emontrer que dn’est pas m etriquement equivalente a la distance euclidienne. D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. 2 Ouverts, ferm es Exercice 6. 4 dist(mat, method = "binary"): les vecteurs sont considérés comme binaires (1 si <> 0, 0 si 0) et la distance entre 2 vecteurs est la proportion de bits où seulement l'un des 2 est allumé sur le … I. NORME EUCLIDIENNE DANS Rm Dans ce qui suit, m désigne un entier égal ... est une fonction continue sur R (à valeurs dans C), l’application g: R ! L’ensemble ]a;b[, a0, il existe un rang Ntel que pour n>Non a … (x)f(x) définit encore une fonction de D dansRp.Sigestunefonctiond’unepartieD0deRp contenantl’imagedefàvaleursdans Rm,alorslacomposéeg f: x7!g(f(x)) estunefonctiondeDdansRm. Montrer que1 d(x;y) = jx yj 1+jx yj d e nit une distance sur R, topologiquement equivalente a la distance euclidienne. Ainsi, il existe U2U(n), telle que U 1AU= Dsoit diagonale r eelle.

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